Arealet af en cirkel er det rum, som cirklen optager i et todimensionalt plan. Alternativt kaldes pladsen inden for grænsen/omkredsen af en cirkel for cirklens areal. Formlen for arealet af en cirkel er A = πr2, hvor r er cirklens radius. Arealenheden er kvadratenheden, for eksempel m2, cm2, in2 osv. Cirkelareal = πr2 eller πd2/4 i kvadratenheder, hvor (Pi) π = 22/7 eller 3,14. Pi (π) er forholdet mellem omkreds og diameter af enhver cirkel. Det er en speciel matematisk konstant.
Arealet af en cirkelformel er nyttig til at måle det område, der er optaget af et cirkulært felt eller et plot. Antag, at hvis du har et cirkulært bord, så vil områdeformlen hjælpe os med at vide, hvor meget stof der skal til for at dække det helt. Arealformlen vil også hjælpe os med at kende grænselængden, dvs. cirklens omkreds. Har en cirkel volumen? Nej, en cirkel har ikke en volumen. En cirkel er en todimensionel form, den har ikke volumen. En cirkel har kun et areal og omkreds/omkreds. Lad os lære i detaljer om arealet af en cirkel, overfladeareal og dens omkreds med eksempler.
Cirkel og dele af en cirkel
En cirkel er en samling af punkter, der er i en fast afstand fra centrum af cirklen. En cirkel er en lukket geometrisk form. Vi ser cirkler i hverdagen såsom et hjul, pizzaer, en cirkulær grund osv. Målingen af rummet eller området indesluttet inde i cirklen er kendt som arealet af cirklen.
Dele. af en cirkel – areal af en cirkel
Radius: Afstanden fra centrum til et punkt på grænsen kaldes radius af en cirkel. Det er repræsenteret ved bogstavet ‘r’ eller ‘R’. Radius spiller en vigtig rolle i formlen for arealet og omkredsen af en cirkel, som vi lærer senere.
Diameter: En linje, der går gennem midten og dens endepunkter ligger på cirklen kaldes diameteren af en cirkel. Det er repræsenteret af bogstavet ‘d’ eller ‘D’.
Diameterformel: Diameterformlen for en cirkel er det dobbelte af dens radius. Diameter = 2 × Radius
d = 2r eller D = 2R
Hvis diameteren af en cirkel er kendt, kan dens radius beregnes som:
r = d/2 eller R = D/2
Omkreds: Cirklens omkreds er lig med længden af dens grænse. Det betyder, at omkredsen af en cirkel er lig med dens omkreds. Længden af rebet, der vikler perfekt rundt om cirklens grænse, vil være lig med dens omkreds. Nedenstående figur hjælper dig med at visualisere det samme. Omkredsen kan måles ved at bruge den givne formel:
hvor ‘r’ er radius af cirklen, og π er den matematiske konstant, hvis værdi er tilnærmet 3,14 eller 22/7. Omkredsen af en cirkel kan bruges til at finde arealet af den cirkel.
For en cirkel med radius ‘r’ og omkreds ‘C’:
π = Omkreds/Diameter
π = C/2r = C/d
C = 2πr
Lad os forstå de forskellige dele af en cirkel ved at bruge følgende virkelige eksempel.
Overvej en cirkulær park som vist i figuren nedenfor. Vi kan identificere de forskellige dele af en cirkel ved hjælp af figuren og tabellen nedenfor.
Hvad er cirkelarealet?
Arealet af en cirkel er mængden af plads indesluttet inden for grænsen af en cirkel. Området inden for cirklens grænse er det område, som cirklen optager. Det kan også omtales som det samlede antal kvadratenheder inde i den cirkel.
Areal af cirkelformler
Arealet af en cirkel kan beregnes i mellemtrin fra diameteren og omkredsen af en cirkel. Ud fra diameteren og omkredsen kan vi finde radius og derefter finde arealet af en cirkel. Men disse formler giver den korteste metode til at finde arealet af en cirkel. Antag, at en cirkel har en radius ‘r’, så er cirkelarealet = πr2 eller πd2/4 i kvadratenheder, hvor π = 22/7 eller 3,14, og d er diameteren.
Areal af en cirkel , A = πr2 kvadratenheder
Omkreds / Perimeter = 2πr enheder
Areal af en cirkel kan beregnes ved at bruge formlerne:
Areal = π × r2 , hvor ‘r’ er radius.
Areal = (π/4) × d2, hvor ‘d’ er diameteren.
Areal = C2/4π, hvor ‘C’ er omkredsen.
Eksempler på formlen for cirkelareal
Lad os overveje følgende illustrationer baseret på formlen for cirkelareal.
Eksempel 1: Hvis længden af en cirkels radius er 4 enheder. Beregn dens areal.
Løsning:
Radius(r) = 4 enheder(givet)
Brug formlen for cirklens areal,
Arealet af en Cirkel = πr2
Sæt værdierne,
A = π42
A =π × 16
A = 16π ≈ 50,27
Svar: Arealet af cirklen er 50,27 kvadratenheder.
Eksempel 2: Længden af den største akkord i en cirkel er 12 enheder. Find arealet af cirklen.
Løsning:
Diameter(d) = 12 enheder(givet)
Ved hjælp af formlen for cirklens areal,
Arealet af en cirkel = (π/4)×d2
Sæt værdierne,
A = (π/4) × 122
A = (π/4) × 144
A = 36π ≈ 113,1
Svar: Cirklens areal er 113,1 kvadratenheder.
Areal af en cirkel ved hjælp af diameter
Arealet af cirkelformlen i form af diameteren er: Arealet af en cirkel = πd2/4. Her er ‘d’ diameteren af cirklen. Cirklens diameter er to gange radius af cirklen. d = 2r. Generelt ud fra diameteren skal vi først finde cirklens radius og derefter finde arealet af cirklen. Med denne formel kan vi direkte finde arealet af cirklen ud fra målet for cirklens diameter.
Areal af cirkel ved hjælp af Diameter
Areal af en cirkel Brug af omkreds
Arealet af en cirkelformel i form af omkreds er givet af formlen (Omkreds)24π. Der er to enkle trin til at finde arealet af en cirkel ud fra den givne omkreds af en cirkel. Omkredsen af en cirkel bruges først til at finde cirklens radius. Denne radius er yderligere nyttig til at finde arealet af en cirkel. Men i denne formler vil vi være i stand til direkte at finde arealet af en cirkel ud fra cirklens omkreds.
Areal af cirkel ved hjælp af Circumference
Area af en cirkel -Beregning
Cirklens areal kan bekvemt beregnes enten ud fra cirklens radius, diameter eller omkreds. Konstanten, der bruges i beregningen af arealet af en cirkel, er pi, og den har en numerisk brøkværdi på 22/7 eller en decimalværdi på 3,14. Enhver af værdierne af pi kan bruges baseret på kravet og behovet for ligningerne. Nedenstående tabel viser listen over formler, hvis vi kender radius, diameter eller omkreds af en cirkel.
- Areal af en cirkel, når radius er kendt. πr2
- Areal af en cirkel, når diameteren er kendt. πd2/4
- Areal af en cirkel, når omkredsen er kendt. C2/4π
Afledning af areal af en cirkel
Hvorfor er cirklens areal πr2? For at forstå dette, lad os først forstå, hvordan formlen for arealet af en cirkel er udledt.
Iagttag ovenstående figur omhyggeligt, hvis vi deler cirklen op i mindre sektioner og arrangerer dem systematisk, danner den en form af et parallelogram. Når cirklen opdeles i endnu mindre sektorer, bliver den gradvist form af et rektangel. Jo flere sektioner det har mere, har det en tendens til at have form som et rektangel som vist ovenfor.
Arealet af et rektangel er = længde × bredde
Bredden af et rektangel = radius af en cirkel (r)
Når vi sammenligner længden af et rektangel og omkredsen af en cirkel, kan vi se, at længden er = ½ omkredsen af en cirkel
Areal af cirkel = Areal af rektangel dannet = ½ (2πr) × r
Derfor er arealet af cirklen πr2, hvor r, er radius af cirklen, og værdien af π er 22/7 eller 3,14.
Cirkelens overfladeareal
En cirkels overfladeareal er det samme som arealet af en cirkel. Faktisk, når vi siger arealet af en cirkel, mener vi ikke andet end dens samlede overfladeareal. Overfladeareal er det område, der optages af overfladen af en 3D-form. Overfladen af en kugle vil være sfærisk i form, men en cirkel er en simpel plan 2-dimensionel form.
Hvis længden af radius eller diameter eller endda omkredsen af cirklen er givet, så kan vi find ud af overfladearealet. Det er repræsenteret i kvadratiske enheder. Cirklens overfladeareal = πr2, hvor ‘r’ er radius af cirklen, og værdien af π er cirka 3,14 eller 22/7.
Eksempel fra den virkelige verden på cirkelareal
Ron og hans venner bestilte en pizza fredag aften. Hver skive var 15 cm lang.
Beregn arealet af pizzaen, der blev bestilt af Ron. Du kan antage, at længden af pizzaskiven er lig med pizzaens radius.
Løsning:
En pizza er cirkulær i form. Så vi kan bruge arealet af en cirkelformel til at beregne arealet af pizzaen.
Radius er 15 cm
Cirkelarealformel = πr2 = 3,14 × 15 × 15 = 706,5
Areal af pizzaen = 706,5 sq. cm.
Eksempler på cirkelareal
Eksempel 1: Find omkredsen og arealet af en cirkel, hvis radius er 14 cm.
Løsning:
Givet: Cirklens radius = 14 cm
cirklens omkreds = 2πr
= 2 × 22/7 × 14
= 2 × 22 × 2
= 88 cm
Brug af arealet af cirkelformlen = πr2
= 22/7 × 14 × 14
= 22 × 2 × 14
= 616 sq. cm.
Areal af cirklen = 616 sq. cm.
Eksempel 2: Forholdet mellem arealet af 2 cirkler er 4:9. Find forholdet mellem deres radier ved hjælp af formlen for cirkelareal.
Løsning:
Lad os antage følgende:
- Radius af 1. cirkel = R1
- Areal af 1. cirkel = A1
- Radius af 2. cirkel = R2
- Areal af 2. cirkel = A2
- Det er givet, at A1:A2 = 4:9
- Areal af en cirkel = πr2
- πR12 : πR2^2 = 4 : 9
- Med kvadratrødder af bth sider,
- R1 : R2 = 2 : 3
- Derfor er forholdet mellem radierne = 2:3
Eksempel 3: En racerbane er i form af en cirkulær ring. Den indre radius af sporet er 58 yd og den ydre radius er 63 yd. Find arealet af racerbanen.
Løsning:
Givet: R = 63 yd, r = 56 yd.
Lad arealet af den ydre cirkel være A1 og arealet af den indre cirkel være A2
Areal af racerbanen = A1 – A2 = πR2 – πr2 = π(632 – 562) = 22/7 × 833 = 2.618 kvadrat yards.
Derfor er arealet af racerbanen er på 2618 kvadratmeter.